Question

12．不等式ax²+x-1＜0對(duì)任意x∈[1，3]成立，則a的范圍是（-∞，-$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 不等式ax²+x-1＜0對(duì)任意x∈[1，3]成立轉(zhuǎn)化為a＜$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，求出f（t）=t²-t，t=$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{3}$，1]的最小值即可．

解答 解：不等式ax²+x-1＜0對(duì)任意x∈[1，3]成立，
∴ax²＜1-x，
即a＜$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$；
設(shè)f（t）=t²-t，t=$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{3}$，1]；
∴f（t）=${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（t）取得最小值-$\frac{1}{4}$；
∴a＜-$\frac{1}{4}$，
即a的范圍是（-∞，-$\frac{1}{4}$）．
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目