Question

2．（1）已知a，b，m都是正數(shù)，且a＜b，用分析法證明$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}$；
（2）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，n∈N^*．利用（1）的結(jié)論證明如下等式：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）去分母，尋找使不等式成立的條件，得出結(jié)論；
（2）由（1）可得$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{{{3^n}-1}}＜\frac{2+1}{{（{3^n}-1）+1}}=\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$，使用等比數(shù)列的求和公式得出結(jié)論．

解答 證明：（1）要證$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}$，由于a，b，m都是正數(shù)，
只需證a（b+m）＜b（a+m），即ab+am＜ab+bm，
只需證am＜bm
因?yàn)閙＞0，所以只需證a＜b，
又已知a＜b，所以原不等式成立
（2）證明：$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{{{3^n}-1}}$．
當(dāng)n=1時(shí)，左式=$1＜\frac{3}{2}$=右式．
當(dāng)n＞1，n∈N^*時(shí)，由（1）知：$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{{{3^n}-1}}＜\frac{2+1}{{（{3^n}-1）+1}}=\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$
于是$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}＜1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}=\frac{3}{2}（1-\frac{1}{3^n}）＜\frac{3}{2}$
綜上可得$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}＜\frac{3}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明，數(shù)列求和，屬于中檔題．