分析 (1)去分母,尋找使不等式成立的條件,得出結(jié)論;
(2)由(1)可得$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{{{3^n}-1}}<\frac{2+1}{{({3^n}-1)+1}}=\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$,使用等比數(shù)列的求和公式得出結(jié)論.
解答 證明:(1)要證$\frac{a+m}{b+m}$>$\frac{a}$,由于a,b,m都是正數(shù),
只需證a(b+m)<b(a+m),即ab+am<ab+bm,
只需證am<bm
因?yàn)閙>0,所以只需證a<b,
又已知a<b,所以原不等式成立
(2)證明:$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{{{3^n}-1}}$.
當(dāng)n=1時(shí),左式=$1<\frac{3}{2}$=右式.
當(dāng)n>1,n∈N*時(shí),由(1)知:$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{{{3^n}-1}}<\frac{2+1}{{({3^n}-1)+1}}=\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$
于是$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}<1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}=\frac{3}{2}(1-\frac{1}{3^n})<\frac{3}{2}$
綜上可得$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}<\frac{3}{2}$
點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明,數(shù)列求和,屬于中檔題.
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