Question

2．設函數(shù)f（x）=e^x-a（x-1）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）當a＞0時，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上存在唯一零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可求導數(shù)，f′（x）=e^x-a，從而可討論a的符號，進而判斷導數(shù)的符號，這樣即可得出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，進而得出其極值；
（2）根據(jù)上面知x=lna為f（x）的最小值點，從而可討論零點為極小值點，或零點在極小值點的左側兩種情況，對于每種情況可以求出a的取值，兩種情況求并即可得出a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a
①若a≤0，則在區(qū)間（-∞，+∞）上f′（x）＞0
∴f（x） 的單調遞增區(qū)間為（-∞，+∞），沒有極值點；
②若a＞0，令f′（x）=0，即e^x=a，解得x=lna
故在區(qū)間（-∞，lna）內f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
在區(qū)間（lna，+∞）內f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
∴當a＞0時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，lna），
f（x）的單調遞增區(qū)間為（lna，+∞），當x=lna時，函數(shù)f（x）有極小值為2a-alna；
（2）當a＞0時，由（1）知，x=lna為函數(shù)f（x）的最小值點
因為f（0）=1+a＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間上（0，2]上存在唯一零點，
則當零點為函數(shù)的極小值點時：
$\left\{\begin{array}{l}{f（lna）=0}\\{0＜lna≤2}\end{array}\right.$，得a=e²；
當零點在極小值點左側時：$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{lna＞2}\end{array}\right.$，得a＞e²；
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上存在唯一零點，
則a≥e²，
∴a的取值范圍為[e²，+∞）．

點評 考查基本初等函數(shù)導數(shù)的求法，以及根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號求函數(shù)單調區(qū)間的方法，根據(jù)導數(shù)符號求函數(shù)極值的方法，函數(shù)零點的定義，以及清楚函數(shù)極小值和最小值的關系．