Question

14．已知以點C（a，$\frac{2}{a}$）（a∈R，a≠0）為圓心的圓與x軸相交于O，A兩點，與y軸相交于O，B兩點，其中O為原點．
（1）當a=2時，求圓C的標準方程；
（2）當a變化時，△OAB的面積是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由；
（2）設直線l：2x+y-4=0與圓C相交于M，N兩點，且|OM|=|ON|，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）求出圓心與半徑，寫出圓的方程即可．
（2）通過題意解出OC的方程，解出t 的值，直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，判斷t是否符合要求，可得圓的方程．

解答 解：（1）a=2時，以點C（2，1）為圓心的圓與x軸相交于O，A兩點，與y軸相交于O，B兩點，
∵圓C過原點O，
∴OC²=2²+1²=5．
則圓C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5，
（2）∵圓C過原點O，
∴OC²=a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$，
則圓C的方程是（x-a）²+（y-$\frac{2}{a}$）²=a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$，
令x=0，得y₁=0，y₂=$\frac{4}{a}$，
令y=0，得x₁=0，x₂=2a
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$×|$\frac{4}{a}$|×|2a|=4，
即：△OAB的面積為定值；
（3）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，
∴OC垂直平分線段MN，
∵k_MN=-2，∴k_oc=$\frac{1}{2}$，
∴直線OC的方程是y=$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}$t，解得：a=2或a=-2，
當a=-2時，圓心C的坐標為（-2，-1），OC=$\sqrt{5}$，
此時C到直線y=-2x+4的距離d=$\frac{9}{\sqrt{5}}$＞$\sqrt{5}$，
圓C與直線y=-2x+4不相交，
∴a=-2不符合題意舍去，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．
當t=2時，圓心C的坐標為（2，1），OC=$\sqrt{5}$，
此時C到直線y=-2x+4的距離d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$＜$\sqrt{5}$，
圓C與直線y=-2x+4相交于兩點，
|MN|=$2\sqrt{{r}^{2}-notprvu^{2}}$=$2\sqrt{5-\frac{1}{5}}$=$\frac{4}{5}\sqrt{30}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，圓的標準方程等有關知識，是中檔題．