Question

2．曲線C的極坐標方程是ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{5}t+2\\ y=\frac{4}{5}t\end{array}$（t為參數(shù)）．
（1）將曲線C的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程；
（2）設(shè)直線l與x軸的交點是M，N為曲線C上一動點，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），兩邊同時乘以ρ得ρ²=4ρsin（θ-$\frac{π}{6}$），展開可得：ρ²=4$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得直角坐標方程．
（2）由直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{5}t+2\\ y=\frac{4}{5}t\end{array}$（t為參數(shù)）．消去參數(shù)t可得直線l的直角坐標方程得：y=-$\frac{4}{3}$（x-2）．可得：M（2，0），利用|MC|-r≤|MN|≤|MC|+r，即可得出．

解答 解：（1）ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），兩邊同時乘以ρ得ρ²=4ρsin（θ-$\frac{π}{6}$），
展開可得：ρ²=4$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，
可得直角坐標方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$y-2x，
配方得：（x+1）²+$（y-\sqrt{3}）^{2}$=4．
（2）由直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{5}t+2\\ y=\frac{4}{5}t\end{array}$（t為參數(shù)）．
消去參數(shù)t可得直線l的直角坐標方程得：y=-$\frac{4}{3}$（x-2）．
令y=0得x=2，即M（2，0），
又曲線C為圓，圓C的圓心坐標為$（-1，\sqrt{3}）$，
半徑r=2，則|MC|=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
由|MC|-r≤|MN|≤|MC|+r，
則|MN|∈$[2\sqrt{3}-2，2\sqrt{3}+2]$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、圓的方程與直線方程的應(yīng)用、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．