Question

13．如圖，AB是半圓O的直徑，延長AB到C，使BC=$\sqrt{2}$，CD切半圓O于點D，DE⊥AB，垂足為E．若AE：EB=3：1，求DE的長．

Answer 1

分析 設(shè)EB=x，即有AE=3x，OE=x，半徑為2x，由勾股定理，可得DE=$\sqrt{3}$x，連接OD，可得OD⊥CD，運用射影定理，可得DE²=OE•CE=OE•（EB+BC），解方程可得x，進(jìn)而得到DE的長．

解答 解：由AE：EB=3：1，可設(shè)EB=x，即有AE=3x，OE=x，半徑為2x，
在直角三角形DOE中，DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{4{x}^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
連接OD，可得OD⊥CD，
在直角三角形DOC中，由射影定理可得
DE²=OE•CE=OE•（EB+BC），
即為3x²=x•（x+$\sqrt{2}$），
解得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則DE=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理和射影定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．