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19.求函數(shù)f(x)=log13(x2-5x+4)的定義域和單調區(qū)間.

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質求出函數(shù)的定義域,函數(shù)y=log13(x2-5x+4)是由y=log13μ(x)與μ(x)=x2-5x+4復合而成,根據(jù)復合的兩個函數(shù)同增則增,同減則增,一增一減則減,即可求出函數(shù)y=log13(x2-5x+4)的單調區(qū)間.

解答 解:由μ(x)=x2-5x+4>0,解得x>4或x<1,
所以x∈(-∞,1)∪(4,+∞),
因為函數(shù)f(x)=log13(x2-5x+4)是由y=log13μ(x)與μ(x)=x2-5x+4復合而成,
函數(shù)y=log13μ(x)在其定義域上是單調遞減的,
函數(shù)μ(x)=x2-5x+4在(-∞,52)上為減函數(shù),在[52,+∞]上為增函數(shù).
考慮到函數(shù)的定義域及復合函數(shù)單調性,
y=log13(x2-5x+4)的增區(qū)間是定義域內使y=log13μ(x)為減函數(shù)、μ(x)=x2-5x+4也為減函數(shù)的區(qū)間,即(-∞,1);
y=log13(x2-5x+4)的減區(qū)間是定義域內使y=log13μ(x)為減函數(shù)、μ(x)=x2-5x+4為增函數(shù)的區(qū)間,即(4,+∞).

點評 本題考查復合函數(shù)的單調性,復合的兩個函數(shù)同增則增,同減則增,一增一減則減,注意對數(shù)函數(shù)的定義域,考查學生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力,是中檔題.

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