Question

8．已知函數(shù)$f（x）=alnx-\frac{2b}{x}$在x=1處有極值1．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$f'（x）=\frac{a}{x}+\frac{2b}{x^2}$．利用f（x）在x=1處有極值1，列出方程組，即可求解a，b的值．
（Ⅱ）利用函數(shù)的解析式，求出$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，定義域，求出$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）由條件得$f'（x）=\frac{a}{x}+\frac{2b}{x^2}$．
因?yàn)閒（x）在x=1處有極值1，
得$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1\\ f'（1）=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-2b=1\\ a+2b=0\end{array}\right.$解得a=1，$b=-\frac{1}{2}$…（5分）
經(jīng)驗(yàn)證滿足題意．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，定義域是（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$
由f'（x）＞0，得x＞1；f'（x）＜0，得0＜x＜1．…（10分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）…12

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．