Question

16．把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，對于下列結論：
①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB與CD成60°角；④AB與平面BCD成60°角．
則其中正確結論的個數(shù)是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．根據(jù)線面垂直的判定及性質可判斷①的真假；求出AC長后，可以判斷②的真假；求出AB與平面BCD所成的角可判斷③的真假；建立空間坐標系，利用向量法，求出AB與CD所成的角，可以判斷④的真假；進而得到答案

解答 解：取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．
∴BD⊥面AEC．?
∴BD⊥AC，故①正確．?
設正方形邊長為a，則AD=DC=a，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=EC．
∴AC=a．?
∴△ADC為等邊三角形，故②正確．?
∠ABD為AB與面BCD所成的角為45°，?
以E為坐標原點，EC、ED、EA分別為x，y，z軸建立直角坐標系，?
則A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），B（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），
C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0）．
$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）．
cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=60°，故③正確．
∠ABD為AB與面BCD所成的角為45°，故④不正確．?
故選：C

點評 本題考查的知識點是線面垂直的判定與性質，空間兩點距離，線面夾角，異面直線的夾角，其中根據(jù)已知條件將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，結合立體幾何求出相關直線與直線、直線與平面的夾角，及線段的長是關鍵，是中檔題．