【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，是棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形是平行四邊形可得，故而平面；

（2）以為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，計算與的夾角的余弦值得出答案．

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，

，分別是，的中點(diǎn)，

，，

又，，

，，

四邊形是平行四邊形，，

又平面，平面，

平面．

（2）解：，，

又，故，

以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，

是的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)，

，1，，，，，

，，，，0，，，2，，

設(shè)平面的法向量為，，，則，即，

令可得，，，

，

，

直線與平面所成角的正弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知矩形中，，E，F分別為，的中點(diǎn).沿將矩形折起，使，如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段，的中點(diǎn)，連接.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，湖中有一個半徑為千米的圓形小島，岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米，為方便游人到小島觀光，從點(diǎn)向小島建三段棧道，，，湖面上的點(diǎn)在線段上，且，均與圓相切，切點(diǎn)分別為，，其中棧道，，和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)�。▓A上實(shí)線部分）上再修建棧道.記為.

用表示棧道的總長度，并確定的取值范圍；

求當(dāng)為何值時，棧道總長度最短.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，E，F分別為AB的三等分點(diǎn)，，，，若沿著FG，ED折疊使得點(diǎn)A，B重合，如圖2所示，連結(jié)GC，BD

（1）求證：平面平面BCDE；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，其中為常數(shù)．

（1）證明： ；

（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，判斷函數(shù)，（）有幾個零點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在綜合素質(zhì)評價的某個維度的測評中，依據(jù)評分細(xì)則，學(xué)生之間相互打分，最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個分?jǐn)?shù)，滿分100分，按照大于或等于80分的為優(yōu)秀，小于80分的為合格，為了解學(xué)生的在該維度的測評結(jié)果，在畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表：

優(yōu)秀

合格

總計

男生

6

女生

18

合計

60

已知在該班隨機(jī)抽取1人測評結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.

（1）完成上面的列聯(lián)表；

（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與測評結(jié)果有關(guān)系？

（3）現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況，采取簡單隨機(jī)抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來分析，請你選擇一個合適的抽樣方法，并解釋理由.

附：

0.25

0.10

0.025

1.323

2.706

5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為五個等級，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、、五個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)區(qū)間如下表：

等級

比例

賦分區(qū)間

而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計算：

其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，表示原始分，表示轉(zhuǎn)換分，當(dāng)原始分為，時，等級分分別為、

假設(shè)小南的化學(xué)考試成績信息如下表：

考生科目

考試成績

成績等級

原始分區(qū)間

等級分區(qū)間

化學(xué)

75分

等級

設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級成績?yōu)?/span>，根據(jù)公式得：，

所以（四舍五入取整），小南最終化學(xué)成績?yōu)?7分.

已知某年級學(xué)生有100人選了化學(xué)，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級的化學(xué)等級成績，其中化學(xué)成績獲得等級的學(xué)生原始成績統(tǒng)計如下表：

成績

95

93

91

90

88

87

85

人數(shù)

1

2

3

2

3

2

2

（1）從化學(xué)成績獲得等級的學(xué)生中任取2名，求恰好有1名同學(xué)的等級成績不小于96分的概率；

（2）從化學(xué)成績獲得等級的學(xué)生中任取5名，設(shè)5名學(xué)生中等級成績不小于96分人數(shù)為，求的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】根據(jù)氣象部門預(yù)報，在距離某個碼頭A南偏東45°方向的600km處的熱帶風(fēng)暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移動，距離風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過___小時后該碼頭A將受到熱帶風(fēng)暴的影響（精確到0.01）．

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