Question

1．已知正數(shù)a，b滿足5-3a≤b≤4-a，lnb≥a，則$\frac{a}$的取值范圍是[e，7]．

Answer 1

分析 由題意可求得$\frac{a}$≤7；由lnb≥a可得$\frac{a}$≥$\frac{lnb}$（b≥${e}^{\frac{1}{2}}$），設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$（x≥${e}^{\frac{1}{2}}$），利用其導(dǎo)數(shù)可求得f（x）的極小值，也就是$\frac{a}$的最小值，于是問題解決．

解答 解：∵正數(shù)a，b滿足5-3a≤b≤4-a，
∴5-3a≤4-a，
∴a≥$\frac{1}{2}$．
∵5-3a≤b≤4-a，
∴$\frac{5}{a}$-3≤$\frac{a}$≤$\frac{4}{a}$-1．
從而$\frac{a}$≤7，
∵lnb≥a，∴$\frac{a}$≥$\frac{lnb}$（b≥${e}^{\frac{1}{2}}$），
設(shè)f（x）=$\frac{x}{lnx}$（x≥${e}^{\frac{1}{2}}$），則f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞e時，f′（x）＞0，當(dāng)x=e時，f′（x）=0，
∴當(dāng)x=e時，f（x）取到極小值，也是最小值．
∴f（x）_min=f（e）=e．
∴$\frac{a}$≥e，
∴$\frac{a}$的取值范圍是[e，7]．
故答案為：[e，7]．

點評 本題考查不等式的綜合應(yīng)用，得到$\frac{a}$≥$\frac{lnb}$（b≥${e}^{\frac{1}{2}}$），通過構(gòu)造函數(shù)求$\frac{a}$的最小值是關(guān)鍵，也是難點，考查分析與轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)解決問題的能力，屬于難題．