Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x²-6x+5與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：

分析：（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2，求a的值．

解答： 解：（1）由y=x²-6x+5=0得，x=1或x=5，即x軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（5，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=5，即y軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），
設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0；
則

1+D+F=0 25+5D+F=0 25+5E+F=0

，
解得D=-6，E=-6，F(xiàn)=5，
即圓C的方程為x²+y²-6x-6y+5=0
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論x²+y²-6x-6y+5=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式：（x-3）²+（y-3）²=13，
圓心C（3，3），半徑r=

13

，
若圓C與直線x-y+a=0交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2，
則圓心到直線x-y+a=0的距離d=

( 13 )2-1

=

12

=2

3

，
即

|a|

2

=2

3

，則|a|=2

6

，
則a=±2

6

．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程的求解，利用用待定系數(shù)法求圓的一般式，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，最短弦與弦心距之間的關(guān)系及相關(guān)的運(yùn)算問題．