Question

19．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足$\frac{a+c}{a+b}$=$\frac{b-a}{c}$．
（1）求角B的大��；
（2）若△ABC最大邊的邊長為$\sqrt{14}$，且sinA=2sinC，求最小邊長．

Answer 1

分析 （1）整理已知等式可得：ac+c²=b²-a²，利用余弦定理可得cosB的值，結合范圍0＜B＜π，即可求B的值．
（2）由B=$\frac{2π}{3}$，可知最長邊為b=$\sqrt{14}$，由sinA=2sinC，可得a=2c，c為最小邊，由余弦定理即可解得最小邊c的長．

解答 解：（1）∵由$\frac{a+c}{a+b}$=$\frac{b-a}{c}$，整理可得：（a+c）c=（b-a）（a+b），即：ac+c²=b²-a²，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{-ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{2π}{3}$，
∴最長邊為b=$\sqrt{14}$，
∵sinA=2sinC，可得：a=2c，
∴c為最小邊，由余弦定理可得：（$\sqrt{14}$）²=4c²+c²-2×$2c×c×（-\frac{1}{2}）$，
∴解得c=$\sqrt{2}$，即最小邊長為$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．