Question

9．極限$\underset{lim}{x→0}$（$\frac{1}{x}$一$\frac{1}{{e}^{x}-1}$）的值為（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 將分子分母通分，利用兩次洛必達法則，再利用函數(shù)極限的運算法則，即可得到結(jié)果．

解答 解：$\underset{lim}{x→0}$（$\frac{1}{x}$一$\frac{1}{{e}^{x}-1}$），
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1-x}{x（{e}^{x}-1）}$，
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}-1+x{e}^{x}}$，
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}（x+1+1）}$，
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{x+1+1}$，
=$\frac{1}{2}$，
故答案選：C．

點評 本題考查利用洛必達法則求函數(shù)的極限，屬于基礎(chǔ)題．