Question

5．已知函數(shù)f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx-1．
（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）當(dāng)b=1，a≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=0，b=-4時(shí)，方程x²+2mf（x）=0有唯一解，求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得，函數(shù)f（x）的最大值；
（2）由b=1，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）由x²+2mf（x）=0有唯一解，則y=-$\frac{1}{2m}$，則g（x）=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），有唯一交點(diǎn)，分類根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及利用洛必達(dá)法則即可求得g（x）極限，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，即可求得實(shí)數(shù)m取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）=2lnx-

1

2

x²-x-1，定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

2

x

-x-1=-

x2+x-2

x

=-

（x+2）（x-1）

x

，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
故f（x）的極大值是f（1）=-

5

2

，
∴f（x）的最大值f（x）_max=-

5

2

；
（2）當(dāng)b=1，f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$ax²-x-1．求導(dǎo)f′（x）=$\frac{2}{x}$-ax-1=-$\frac{a{x}^{2}+x-2}{x}$，（x＞0），
當(dāng)a=0，令f′（x）=0，解的：x=2，
當(dāng)0＜x＜2，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞2，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)a＜0時(shí)，令g（x）=ax²+x-2，△=1+8a，
①當(dāng)△=1+8a≤0時(shí)，即a≤-$\frac{1}{8}$，g（x）≤0恒成立，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
②當(dāng)△=1+8a＞0，即-$\frac{1}{8}$＜a＜0，解得：x₂=$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{-2a}$＞x₁=$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-2a}$＞0，
∴f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）單調(diào)遞增；在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，
綜上可知：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間（2，+∞）；
當(dāng)a≤-$\frac{1}{8}$，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（0，+∞），
當(dāng)-$\frac{1}{8}$＜a＜0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（0，$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-2a}$），（$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{-2a}$，+∞），
遞減區(qū)間為（$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{-2a}$，$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{-2a}$）；
（3）當(dāng)a=0，b=-4時(shí)，f（x）=2lnx+4x-1，由x²+2mf（x）=0，
方程-2m（2lnx+4x-1）=x²，（x＞0），
顯然m≠0，則-$\frac{1}{2m}$=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令y=-$\frac{1}{2m}$，則g（x）=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
求導(dǎo)g′（x）=$\frac{4（1-x-lnx）}{{x}^{3}}$，而h（x）=1-x-lnx在（0，+∞）單調(diào)遞減，且h（1）=0，
當(dāng)0＜x＜1，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=3，
由$\underset{lim}{x→∞}$g（x）=-∞，
則$\underset{lim}{x→∞}$g（x）=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{\frac{2}{x}+4}{2x}$=0，
如圖當(dāng)-$\frac{1}{2m}$=3，或-$\frac{1}{2m}$＜0時(shí)，則y=-$\frac{1}{2m}$，與g（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
解得：m=-$\frac{1}{6}$或m＞0，
∴實(shí)數(shù)m取值范圍{m丨m=-$\frac{1}{6}$或m＞0}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求切線方程，求函數(shù)的最值等知識(shí)，注意恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化及構(gòu)造法的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，屬難題．