Question

2．某電視臺舉行一個比賽類型的娛樂節(jié)目，A、B兩隊各有六名選手參賽，將他們首輪的比賽成績作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成莖葉圖如圖所示，為了增加節(jié)目的趣味性，主持人故意將A隊第六位選手的成績沒有給出，并且告知大家B隊的平均分比A隊的平均分多4分，同時規(guī)定如果某位選手的成績不少于21分，則獲得“晉級”．
（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，求出A隊第六位選手的成績；
（2）主持人從A隊所有選手成績中隨機抽2個，求至少有一個為“晉級”的概率；
（3）主持人從A、B兩隊所有選手成績分別隨機抽取2個，記抽取到“晉級”選手的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）設A隊第六位選手的成績?yōu)閤，利用莖葉圖及平均數(shù)的定義能求出A隊第六位選手的成績．
（2）A隊6位選手中有2人獲得“晉級”．主持人從A隊所有選手成績中隨機抽2個，先求出基本事件總數(shù)，再由對立事件概率計算公式能求出至少有一個為“晉級”的概率．
（3）由題意A隊6位選手中有2人獲得“晉級”，B隊6位選手中有4人獲得“晉級”，則ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學期望．

解答 解：（1）設A隊第六位選手的成績?yōu)閤，
由題意得：$\frac{1}{6}$（9+11+13+24+31+x=$\frac{1}{6}$（11+12+21+25+27+36），
解得x=20，
∴A隊第六位選手的成績?yōu)?0．
（2）由（1）知A隊6位選手中成績不少于21分的有2位，即A隊6位選手中有2人獲得“晉級”．
主持人從A隊所有選手成績中隨機抽2個，基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}$=15，
至少有一個為“晉級”的概率p=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$．
（3）由題意A隊6位選手中有2人獲得“晉級”，B隊6位選手中有4人獲得“晉級”，
主持人從A、B兩隊所有選手成績分別隨機抽取2個，記抽取到“晉級”選手的總?cè)藬?shù)為ξ，
則ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{101}{225}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{6}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{101}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{6}{225}$

Eξ=$0×\frac{6}{225}+1×\frac{56}{225}+2×\frac{101}{225}$+3×$\frac{56}{225}$+4×$\frac{6}{225}$=2．

點評 本題考查莖葉圖的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．