Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，滿足a₁=b₁，2a₂=b₂，S₂+T₂=13，2S₃=b₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{{2{a_n}}}{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為C_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由已知列式求得首項(xiàng)和等差數(shù)列的公差及等比數(shù)列的公比，則數(shù)列{a_n}、{b_n}通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}、{b_n}通項(xiàng)公式代入c_n=$\frac{{2{a_n}}}{b_n}$，然后利用錯位相減法求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為C_n．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則$\left\{\begin{array}{l}{a_1}={b_1}\\ 2（{{a_1}+d}）={b_1}q\\ 2{a_1}+d+{b_1}+{b_1}q=13\\ 2（{3{a_1}+3d}）={b_1}{q^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\{b_1}=2\\ d=1\\ q=3\end{array}\right.$，
故${a_n}=n+1，{b_n}=2•{3^{n-1}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c_n=$\frac{{2{a_n}}}{b_n}$=$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$，
∴${C}_{n}={c}_{1}+{c}_{2}+…+{c}_{n}=2+3×\frac{1}{3}+4×\frac{1}{{3}^{2}}+…+（n+1）×\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
$3{C}_{n}=2×3+3×1+4×\frac{1}{3}+…+（n+1）×\frac{1}{{3}^{n-2}}$．
兩式相減得：$2{C_n}=7+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{3^{n-2}}}}-（{n+1}）×\frac{1}{{{3^{n-1}}}}=7+\frac{{\frac{1}{3}-{{（{\frac{1}{3}}）}^{n-1}}}}{{1-\frac{1}{3}}}-（{n+1}）×\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$
=$7+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{（{\frac{1}{3}}）^{n-2}}-（{n+1}）×\frac{1}{{{3^{n-1}}}}=\frac{15}{2}-\frac{2n+5}{{2•{3^{n-1}}}}$．
∴${C_n}=\frac{15}{4}-\frac{2n+5}{{4•{3^{n-1}}}}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．