Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax2-2x（a＜0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)f′（x）≥0的取值范圍；
（Ⅱ）若a=-

1

2

，且關(guān)于a≤

1-2x

x2

=(

1

x

-1)2-1的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個不等的實根，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2（n∈N^*），求證：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對函數(shù)f（x）進行求導，令導數(shù)大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）將a的值代入整理成方程的形式，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)考慮其圖象與x軸的交點的問題．
（3）設(shè)h（x）=lnx-x+1然后求導，可判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性，再由數(shù)學歸納法得證．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），
f′(x)=-

ax2+2x-1

x

(x＞0)，依題意f'（x）≥0，
在x＞0時恒成立，則a≤

1-2x

x2

=(

1

x

-1)2-1，
在x＞0時恒成立，即a≤[ ，
當x=1時，(

1

x

-1)2-1取最小值-1，所以a的取值范圍是（-∞，-1]…4分
（Ⅱ）a=-

1

2

，由f(x)=-

1

2

x+b得

1

4

x2-

3

2

x+lnx-b=0在[1，4]上有兩個不同的實根，
設(shè)g(x)=

1

4

x2-

3

2

x+lnx，x∈[1，4]    g′(x)=

(x-2)(x-1)

2x

，
x∈[1，2）時，g'（x）＜0，x∈（2，4]時，g'（x）＞0g（x）_min=g（2）=ln2-2，g(1)=-

5

4

，g(4)=2ln2-2，g(1)-g(4)=

3

4

-2ln2=

1

4

(3-4ln4)＜0，
得g（1）＜g（4）則b∈(ln2-2，-

5

4

]…8分
（Ⅲ）易證當x＞0且x≠1時，lnx＜x-1．
由已知條件a_n＞0，a_n+1=lna_n+a_n+2≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，故a_n+1+1≤2（a_n+1），
所以當n≥2時，0＜

an+1

an-1+1

≤2，0＜

an-1+1

an-2+1

≤2，0＜

a2+1

a1+1

≤2，
相乘得0＜

an+1

a1+1

≤2n-1，
又a₁=1，故an+1≤2n，即an≤2n-1…12分

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導函數(shù)正負之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，綜合性強，屬于難題．