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12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=12n2+92nnN
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=12an92an7,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求使不等式Tnk2017對(duì)一切n∈N*都成立的正整數(shù)k的最大值;
(3)設(shè)fn={ann=2k1kN3an13n=2kkN,是否存在m∈N*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (1)利用階差法可知an=n+4(n≥2),進(jìn)而驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)是否成立即可;
(2)由(1)裂項(xiàng)可知cn=1212n1-12n+1),進(jìn)而并項(xiàng)相加可知Tn=12(1-12n+1),且Tn的最小值為13,從而問題轉(zhuǎn)化為解不等式k201713,計(jì)算即得結(jié)論;
(3)假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)m,分m為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況代入計(jì)算即可.

解答 解:(1)因?yàn)?{S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{9}{2}n,(n∈{N^*})$,
所以an=Sn-Sn-1=n+4(n≥2),
又因?yàn)閍1=S1=5滿足上式,
所以an=n+4nN
(2)由(1)可知cn=12n12n+1=1212n1-12n+1),
所以Tn=12(1-13+13-15+…+12n1-12n+1)=12(1-12n+1),
顯然Tn隨著n的增大而增大,故Tn的最小值為13
k201713可得kmax=672;
(3)結(jié)論:不存在滿足條件的m.
理由如下:
①當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)m+15為偶數(shù),則
f(m+15)=5f(m),即3am+15-13=5am
所以3(m+15+4)-13=5(m+4),解得m=12,矛盾;
②當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)m+15為奇數(shù),則
f(m+15)=5f(m),即am+15=5(3am-13),
所以m+15+4=5[3(m+4)-13],解得m=127,矛盾;
綜上所述,不存在滿足條件的m.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查分類討論的思想,考查裂項(xiàng)相消法求和,考查數(shù)列的單調(diào)性,考查恒成立問題,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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P(K2≥k)0.500.400.250.150.10
k0.4550.7081.3232.0722.706
P(K2≥k)0.050.0250.010.0050.001
k3.8415.0246.6357.87910.828

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