7.如圖所示,已知A、B、C是一條直路上的三點,AB與BC各等于2km,從三點分別遙望塔M,在A處看見塔在北偏東45°方向,在B處看塔在正東方向,在點C處看見塔在南偏東60°方向,則塔M到直路ABC的最短距離為$\frac{14+10\sqrt{3}}{13}$.

分析 根據(jù)已知條件求得∠CMA,進而可推斷出△MBC與△MBA面積相等,利用三角形面積公式可求得CM和AM的關系,進而在△MAC中利用余弦定理求得a,最后根據(jù)三角形面積公式求得答案.

解答 解:已知AB=BC=2,∠AMB=45°,∠CMB=30°,∴∠CMA=75°
易見△MBC與△MBA面積相等,
∴AMsin45°=CMsin30°
即CM=$\sqrt{2}$AM,記AM=a,則CM=$\sqrt{2}$a,
在△MAC中,AC=4,由余弦定理得:16=3a2-2$\sqrt{2}$a2cos75°,
∴a2=$\frac{16}{4-\sqrt{3}}$,記M到AC的距離為h,則$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$a2sin75°=2h
得h=$\frac{14+10\sqrt{3}}{13}$,
∴塔到直路ABC的最短距離為:$\frac{{14+10\sqrt{3}}}{13}$.
故答案為:$\frac{{14+10\sqrt{3}}}{13}$.

點評 本題主要考查了解三角形的實際應用.考查了學生對基礎知識的綜合運用.

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