Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的

3

倍，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是它的左，右焦點(diǎn)．
（1）若P∈C，且

PF1

•

PF2

=0，|PF₁|•|PF₂|=4，求F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，過動點(diǎn)Q作以F₂為圓心、以1為半徑的圓的切線QM（M是切點(diǎn)），且使|QF₁|=

2

|QM|，求動點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）依題意知a=

3

b，（|PF₁|+|PF₂|）²=8b²+8=4a²，由此能求出F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
（2）由已知|QF₂|=

2

|QM|，|QM|²=|QF₂|²-1，|QF₁|²=2（|QF₂|²-1），設(shè)Q（x，y），由此能求出動點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答： 解：（1）依題意知a=

3

b，①
∵

PF1

•

PF2

=0，∴PF₁⊥PF₂，
∴|PF1|2+|PF2|2=（2c）²=4（a²-b²）=8b²，
又P∈C，由橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，
（|PF₁|+|PF₂|）²=8b²+8=4a²，②
由①②得a²=6，b²=2，∴c=2，
∴F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
（2）由已知|QF₂|=

2

|QM|，
即|QF1|2=2|QM|2，
∵QM是圓F₂的切線，
∴|QM|²=|QF₂|²-1，
∴|QF₁|²=2（|QF₂|²-1），
設(shè)Q（x，y），則（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，
即（x-6）²+y²=34，
綜上所述，所求動點(diǎn)Q的軌跡方程為：（x-6）²+y²=34．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查動點(diǎn)的軌跡方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．