Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x，
（Ⅰ）若x=2是函數(shù)f（x）的一個極值點，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)a＜0，當x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）的圖象恒不在直線y=e²上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x可得
f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax-2a-3）e^x
=[x²+（2+a）x-a-3]e^x，（4分）
∵x=2是函數(shù)f（x）的一個極值點，
∴f′（2）=0
∴（a+5）e²=0，解得a=-5．（6分）
代入f′（x）=（x+a+3）（x-1）e^x=（x-2）（x-1）e^x，
當1＜x＜2時，f′（x）＜0；當x＞2時，f′（x）＞0，
∴x=2是f（x）的極值．
∴a=-5．
（II）當x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）的圖象恒不在直線y=e²上方，
等價于x∈[1，2]，f（x）≤e^x恒成立，
即x∈[1，2]，f（x）_max≤e^x恒成立．
由（I）知，f′（x）=（x+a+3）（x-1）e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-a-3，x₂=1，
當a≤-5時，-a-3≥2，∴f（x）在x∈[1，2]單調(diào)減，
，a≥-e-2與a≤-5矛盾，舍去．
當-5＜a＜-4時，1＜-a-3＜2，
f（x）在x∈（1，-a-3）上單調(diào)遞減，在x∈（-a-3，2）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max在f（1）或f（2）處取到，
f（1）=（-a-2）e，f（2）=e²，
∴只要f（1）=（-a-2）e≤e²，
解得-e-2≤a＜-4．
當-4≤a＜0時，-a-3≤1，
f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)增，，符合題意，
∴實數(shù)a的取值范圍是[-e-2，0）．
分析：（I）由x=2是函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x的一個極值點，可得到x=2是f′（x）=0的根，從而求出a．
（II）當x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）的圖象恒不在直線y=e²上方，等價于x∈[1，2]，f（x）_max≤e^x恒成立．由（I）知，f′（x）=（x+a+3）（x-1）e^x，令f′（x）=0，得x₁=-a-3，x₂=1，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，易錯點是當x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）的圖象恒不在直線y=e²上方，等價于x∈[1，2]，f（x）_max≤e^x恒成立．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．