Question

已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：在定義域D內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數f（x）=

1

x

是否屬于集合M？說明理由；
（2）若函數f（x）=k•2^x+b屬于集合M，試求實數k和b滿足的條件；
（3）設函數f（x）=lg

a

x2+2

屬于集合M，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,元素與集合關系的判斷

專題：計算題,函數的性質及應用,集合

分析：（1）若f（x）=

1

x

∈M，則存在非零實數x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即x₀²+x₀+1=0，解方程即可判斷；
（2）由函數滿足的性質，可得k•2^x₀=2k+b，對k討論，即可得到；
（3）由函數滿足的性質，化簡得（a-3）x₀²+2ax₀+3a-6=0，討論當a=3時，當a＞0且a≠3時，方程解的情況，即可得到．

解答： 解：（1）D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）=

1

x

∈M，則存在非零實數x₀，
使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即x₀²+x₀+1=0，
因為此方程無實數解，所以函數（x）=

1

x

∉M．
（2）D=R，由f（x）=k•2^x+b∈M，存在實數x₀，使得
k•2^x₀+1+b=k•2^x₀+b+2k+b，k•2^x₀=2k+b，若k=0，則b=0，
k≠0有

2k+b

k

＞0，
所以，k和b滿足的條件是k=0，b=0或

2k+b

k

＞0．
（3）由題意，a＞0，D=R．由f（x）=lg

a

x2+2

∈M，存在實數x₀，使得
lg

a

(x0+1)2+2

=lg

a

x02+2

+lg

a

3

，
所以，

a

(x0+1)2+2

=

a

x02+2

•

a

3

，
化簡得（a-3）x₀²+2ax₀+3a-6=0，
當a=3時，x₀=-

1

2

，符合題意．             
當a＞0且a≠3時，
由△≥0得4a²-18（a-3）（a-2）≥0，化簡得
2a²-15a+18≤0解得

3

2

≤a≤6且a≠3                 
綜上，實數a的取值范圍是

3

2

≤a≤6．

點評：本題考查新定義及運用，考查運算和推理能力，考查函數的性質和應用，正確理解定義是迅速解題的關鍵，屬于中檔題．