Question

【題目】已知函數f（x）=2lnx+ax﹣ （a∈R）在x=2處的切線經過點（﹣4，ln2）
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若不等式 ＞mx﹣1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，令x=2，∴f'（2）=1+a+f'（2），

∴a=﹣1，設切點為（2，2ln2+2a﹣2f'（2）），

則y﹣（2ln2+2a﹣2f'（2））=f'（2）（x﹣2），

代入（﹣4，2ln2）得：2ln2﹣2ln2﹣2a+2f'（2）=﹣6f'（2），

∴ ，

∴ ，

∴f（x）在（0，+∞）單調遞減

（2）解： 恒成立 ，

令 ，

∴φ（x）在（0，+∞）單調遞減，

∵φ（1）=0，

∴ ，

∴ 在（0，+∞）恒大于0，

∴m≤0．

【解析】（1）求出函數的導數，求出a的值，得到導函數的符號，求出函數的單調區(qū)間即可；（2）問題轉化為 ，令 ，根據函數的單調性求出m的范圍即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．