Question

20．定義在R上的函數(shù)y=f（x）為減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，若f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0，且0≤x≤2，則x-b的取值范圍是（　　）

• A． [-2，0]
• B． [-2，2]
• C． [0，2]
• D． [0，4]

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y）為函數(shù)y=f（x-1）的圖象上的任意一點(diǎn)，關(guān)于（1，0）對(duì)稱點(diǎn)為（2-x，-y），可得f（2-x-1）=-f（x-1），即f（1-x）=-f（x-1）．由于不等式f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0化為f（x²-2x）≤-f（2b-b²）=f（1-1-2b+b²）=f（b²-2b），再利用函數(shù)y=f（x）為定義在R上的減函數(shù)，可得x²-2x≥b²-2b，可畫(huà)出可行域，進(jìn)而得出答案．

解答 解：設(shè)P（x，y）為函數(shù)y=f（x-1）的圖象上的任意一點(diǎn)，關(guān)于（1，0）對(duì)稱點(diǎn)為（2-x，-y），
∴f（2-x-1）=-f（x-1），即f（1-x）=-f（x-1）．
∴不等式f（x²-2x）+f（2b-b²）≤0化為f（x²-2x）≤-f（2b-b²）=f（1-1-2b+b²）
=f（b²-2b），
∵函數(shù)y=f（x）為定義在R上的減函數(shù)，
∴x²-2x≥b²-2b，
化為（x-1）²≥（b-1）²，
∵0≤x≤2，∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{x≤b≤2-x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{2-x≤b≤x}\end{array}\right.$．
畫(huà)出可行域．設(shè)x-b=z，則b=x-z，由圖可知：當(dāng)直線b=x-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）時(shí)，z取得最小值-2．
當(dāng)直線b=x-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）時(shí)，z取得最大值2．
綜上可得：x-b的取值范圍是[-2，2]．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、線性規(guī)劃的可行域及其最值、直線的平移等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．