Question

8．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A₁B⊥AC₁．
（1）求證：平面A₁BC⊥平面ABC₁；
（2）若∠A₁AC=60°，CA=2，求三棱錐A₁-B₁BC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BC，從而BC⊥側(cè)面ACC₁A，進而BC⊥AC₁，再由A₁B⊥AC₁，得到AC₁⊥平面A₁BC，由此能證明平面A₁BC⊥平面ABC₁．
（2）三棱錐A₁-B₁BC的體積${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}BC}$=${V}_{{B}_{1}-{A}_{1}BC}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵側(cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，
∴AC⊥BC，∵側(cè)面ACC₁A₁∩底面ABC=AC，
∴BC⊥側(cè)面ACC₁A，∵AC₁?側(cè)面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁，
∵A₁B⊥AC₁，BC∩A₁B=B，∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵AC₁?ABC₁，∴平面A₁BC⊥平面ABC₁．
解：（2）∵BC∥B₁C₁，AC₁⊥平面A₁BC，
∴B₁到平面A₁BC的距離d=$\frac{1}{2}$AC₁，
∵底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB=2，∠A₁AC=60°，AC₁⊥平面A₁BC，
∴四邊形ACC₁A₁是邊長為2的菱形，∴d=$\frac{1}{2}A{C}_{1}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，A₁C=2，
∴${S}_{△{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{2}×BC×{A}_{1}C$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱錐A₁-B₁BC的體積${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}BC}$=${V}_{{B}_{1}-{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查柱、錐、臺體的體積，考查推理論證能力，考查空間想象能力與計算能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．