Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知曲線C：pcos²θ=2asinθ（a＞0）過點(diǎn)P（-4，-2）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）直線l與曲線C分別交于點(diǎn)M，N．
（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程和l的普通方程；
（2）若丨PM丨，丨MN丨，丨PN丨成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用所給方程的特點(diǎn)結(jié)合題意整理為直角坐標(biāo)方程和普通方程即可；
（2）聯(lián)立直線的參數(shù)方程與C的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理和等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果．

解答 解：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為x=2ay（a＞0），
直線l的普通方程為x-y+2=0．
（2）將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，得t²-2$\sqrt{2}$（4+a）t+8（4+a）=0．
由△=8a（4+a）＞0，
可設(shè)點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，且t₁，t₂是方程（*）的根，
則丨PM丨=丨t₁丨，丨PN丨=丨t₂丨，丨MN丨=丨t₁-t₂丨．
由題設(shè)得（t₁-t₂）²=丨t₁t₂丨，即（t₁-t₂）²-4t₁t₂=丨t₁t₂丨．
由（*）得t₁+t₂=2$\sqrt{2}$（4+a），t₁t₂=8（4+a）＞0，
則有（4+a）²-5（4+a）=0，解得a=1或a=-4．
因?yàn)閍＞0，則a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．