Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且當(dāng)n≥2時，有$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}{S}_{n}-{{S}^{2}}_{n}}$=1成立，則S₂₀₁₇=$\frac{1}{1009}$．

Answer 1

分析 當(dāng)n≥2時，有$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}{S}_{n}-{{S}^{2}}_{n}}$=1成立，可得2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）S_n-${S}_{n}^{2}$，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵當(dāng)n≥2時，有$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}{S}_{n}-{{S}^{2}}_{n}}$=1成立，∴2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）S_n-${S}_{n}^{2}$，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為$\frac{1}{2}$，首項為1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，解得S_n=$\frac{2}{n+1}$．
∴S₂₀₁₇=$\frac{2}{2018}$=$\frac{1}{1009}$．
故答案為：$\frac{1}{1009}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．