Question

7．已知矩形的兩相鄰邊長為tan$\frac{θ}{2}$和1+cosθ，且對于任何實數(shù)x，f（x）=sinθ•x²+$\root{4}{3}$x+cosθ≥0恒成立，則此矩形的面積（　　）

• A． 有最大值1，無最小值
• B． 有最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值$\frac{1}{2}$
• C． 有最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，無最大值
• D． 有最大值1，最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得即2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z ①，kπ+$\frac{π}{6}$≤θ≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z ②，從而得到θ∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，∴sinθ的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值為$\frac{1}{2}$．再化簡此矩形的面積，從而得出結論．

解答 解：∵矩形的兩相鄰邊長為tan$\frac{θ}{2}$和1+cosθ，∴tan$\frac{θ}{2}$＞0，cosθ≠-1，kπ＜$\frac{θ}{2}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z  ①．
∵對于任何實數(shù)x，f（x）=sinθ•x²+$\root{4}{3}$x+cosθ≥0恒成立，
∴△=$\sqrt{3}$-4sinθcosθ≤0，即 sin2θ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴2kπ+$\frac{π}{3}$≤2θ≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，∴kπ+$\frac{π}{6}$≤θ≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z ②．
由①②可得，θ∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，∴sinθ的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值為$\frac{1}{2}$．
∵此矩形的面積為S=tan$\frac{θ}{2}$•（1+cosθ）=$\frac{sin\frac{θ}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$•2${cos}^{2}\frac{θ}{2}$=sinθ，
故選：B．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，解關于三角函數(shù)的不等式，屬于中檔題．