Question

1．已知橢圓C的方程為$\frac{x^2}{{4{m^2}}}+\frac{y^2}{m^2}$=1，（m＞0），如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，1），C（2，1）．
（Ⅰ） 求橢圓C的離心率；
（Ⅱ） 若橢圓C與△ABC無公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（Ⅲ） 若橢圓C與△ABC相交于不同的兩個(gè)點(diǎn)分別為M，N．若△OMN的面積為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓焦點(diǎn)在x軸上，則a²=4m²，b²=m²，根據(jù)離心率公式即可求得橢圓C的離心率；
（Ⅱ） 當(dāng)橢圓C在直線AB的左下方時(shí)，設(shè)直線l方程，代入橢圓方程，由△＜0，即可求得m的取值范圍，當(dāng)△ABC在橢圓內(nèi)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C（2，1）在橢圓內(nèi)，將C代入橢圓方程，即可求得m的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜m＜\sqrt{2}$時(shí)，當(dāng)$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜m≤1$時(shí)，求得丨MN丨，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得m的值，當(dāng)$1＜m＜\sqrt{2}$時(shí)，求得M和N的坐標(biāo)，S=S_矩形OACB-S_△OBM-S_△OAN-S_△MNC=2-m²，則${m^2}=2-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，即可求得橢圓的方程/

解答 解 （Ⅰ） 由已知可得，a²=4m²，b²=m²，
橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}}=\sqrt{\frac{{3{m^2}}}{{4{m^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；--------------------（5分）
（Ⅱ） 由圖可知當(dāng)橢圓C在直線AB的左下方或△ABC在橢圓內(nèi)時(shí)，兩者便無公共點(diǎn)（5分）
①當(dāng)橢圓C在直線AB的左下方時(shí)，
將AB：x+2y-2=0即x=2-2y代入方程$\frac{x^2}{{4{m^2}}}+\frac{y^2}{m^2}=1$，
整理得8y²-8y+4-4m²=0，
由△＜0，即64-32（4-4m²）=0＜0，解得$0＜m＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴由橢圓的幾何性質(zhì)可知當(dāng)$0＜m＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，橢圓C在直線AB的左下方，
②當(dāng)△ABC在橢圓內(nèi)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C（2，1）在橢圓內(nèi)，
∴可得$\frac{4}{{4{m^2}}}+\frac{1}{m^2}＜1$，
又因?yàn)閙＞0，∴$m＞\sqrt{2}$，
綜上所述，當(dāng)$0＜m＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$m＞\sqrt{2}$時(shí)，橢圓C與△ABC無公共點(diǎn)-；-------------------（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知當(dāng)$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜m＜\sqrt{2}$時(shí)，橢圓C與△ABC相交于不同的兩個(gè)點(diǎn)M﹑N，
∴①當(dāng)$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜m≤1$時(shí)，M﹑N在線段AB上，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$|MN|=\sqrt{5}\sqrt{2{m^2}-1}$．△OMN的面積$s=\sqrt{2{m^2}-1}$，得${m^2}=\frac{9}{16}$，
此時(shí)橢圓C的方程為$\frac{{4{x^2}}}{9}+\frac{{16{y^2}}}{9}=1$；
②當(dāng)$1＜m＜\sqrt{2}$時(shí)，點(diǎn)M﹑N分別在線段BC，AC上，易得$M（2\sqrt{{m^2}-1}，1）$，$N（2，\sqrt{{m^2}-1}）$，
∴S=S_矩形OACB-S_△OBM-S_△OAN-S_△MNC=2-$\sqrt{{m}^{2}-1}$-$\sqrt{{m}^{2}-1}$-$\frac{1}{2}$（2-2$\sqrt{{m}^{2}-1}$）（1-$\sqrt{{m}^{2}-1}$），
=2-2$\sqrt{{m}^{2}-1}$-（1-$\sqrt{{m}^{2}-1}$）²=2-m²，
得${m^2}=2-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，此時(shí)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{{8-\sqrt{2}}}+\frac{{4{y^2}}}{{8-\sqrt{2}}}=1$，
綜上，橢圓C的方程為$\frac{{4{x^2}}}{9}+\frac{{16{y^2}}}{9}=1$或$\frac{x^2}{{8-\sqrt{2}}}+\frac{{4{y^2}}}{{8-\sqrt{2}}}=1$．--------------------（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．