Question

13．直線2ax+2y-a-1=0與不等式組$\left\{\begin{array}{l}{-x+y-2≤0}\\{x+y-4≤0}\\{x-2y+2≤0}\end{array}\right.$表示的區(qū)域沒有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，-$\frac{1}{5}$）
• B． （$\frac{1}{5}$，1）
• C． （-∞，-1）∪（-$\frac{1}{5}$，+∞）
• D． （-∞，-5）∪（-1，+∞）

Answer 1

分析 求出直線過定點(diǎn)D，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線和平面區(qū)域公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題建立直線斜率關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：直線2ax+2y-a-1=0等價(jià)為a（2x-1）+2y-1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-1=0}\\{2y-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即直線過定點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
直線2ax+2y-a-1=0的斜率k=-a，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{-x+y-2=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$，則B（-2，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，則C（2，2），
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)直線CD的斜率k=$\frac{2-\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{2}}$=1，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)直線BD的斜率k=$\frac{0-\frac{1}{2}}{-2-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{5}$，
要使直線與平面區(qū)域沒有交點(diǎn)，則$\frac{1}{5}$＜k＜1，
即$\frac{1}{5}$＜-a＜1，則-1＜a＜-$\frac{1}{5}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，-$\frac{1}{5}$），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及求出直線過定點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．