Question

2．已知a，b，c均為正數(shù)．
（1）若a+b=1，求$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值；
（2）若a+b+c=m，求證：$\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$≥m．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本不等式即可求出最小值，
（2）因?yàn)閍、b、c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=m，方法一，根據(jù)柯西不等式即可證明，
方法二，根據(jù)均值不等式即可證明．

解答 解：（1）$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）（a+b）=1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=5+4=9．
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=$\frac{2}{3}$時(shí)，等號(hào)成立，
即當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時(shí)，$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$有最小值9；
（2）證法一：
證明：因?yàn)閍、b、c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=m，
由柯西不等式得（b+c+a）（$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$）≥（a+b+c）²，
化簡(jiǎn)可得$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c．
即$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥m，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{m}{3}$時(shí)取等號(hào)．                  
證法二：
證明：因?yàn)閍、b、c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=m，
所以$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$+（b+c+a）=（$\frac{{a}^{2}}$+b）+（$\frac{^{2}}{c}$+c）+（$\frac{{c}^{2}}{a}$+a）≥2$\sqrt{{a}^{2}}$+2$\sqrt{^{2}}$+2$\sqrt{{c}^{2}}$=2（a+b+c），
所以$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c=m
當(dāng)且僅當(dāng)a+b+c=m時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了均值不等式和柯西不等式的應(yīng)用，屬于中檔題