Question

2．若x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}3x-y+2≥0\\ x-y-2≤0\\ 3x+2y-6≤0\end{array}\right.$，則x²+y²+10x+6y+34的最小值是10．

Answer 1

分析 思想畫(huà)出可行域，將代數(shù)式配方發(fā)現(xiàn)其幾何意義是動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（-5，-3）的距離的平方．由此求得最小值．

解答 解：畫(huà)出可行域（如圖）．x²+y²+10x+6y+34=（x+5）²+（y+3）²，
這表示動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（-5，-3）的距離的平方．
由圖知，只有C點(diǎn)可能與M（-5，-3）的距離最短．
于是聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}3x-y+2=0\\ x-y-2=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-4\end{array}\right.$，
所以C（-2，-4）．
而$|{CM}|=\sqrt{{{（-5+2）}^2}+{{（-3+4）}^2}}=\sqrt{10}$，$d=\frac{{|{-5×3+（-3）×（-1）+2}|}}{{\sqrt{{3^2}+{{（-1）}^2}}}}=\sqrt{10}$．
故x²+y²+10x+6y+34的最小值是10．

點(diǎn)評(píng) 本題看錯(cuò)了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)之前畫(huà)出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值是關(guān)鍵．