Question

4．已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為正三角形，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB，過(guò)AB做平面α與BC₁平行，平面α交平面ACC₁A₁于直線l，則直線l與BC所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{12}$

Answer 1

分析 取AC中點(diǎn)M，A₁C₁中點(diǎn)N推導(dǎo)出面AB₁N∥面BMC₁，從而B(niǎo)C₁∥面AB₁N，進(jìn)而直線AN就是直線l，由此得到∠MC₁B₁即為直線l與BC所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出直線l與BC所成角的余弦值．

解答 解：取AC中點(diǎn)M，A₁C₁中點(diǎn)N，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為正三角形，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB，
∴BM∥B₁N，AN∥C₁M，
∵AN∩B₁N=N，BM∩C₁M=M，∴面AB₁N∥面BMC₁，
∴BC₁∥面AB₁N，∴直線AN就是直線l，
∵AN∥MC₁，BC∥B₁C₁，∴∠MC₁B₁即為直線l與BC所成角（或所成角的補(bǔ)角），
設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁中棱長(zhǎng)為2，
則B₁M=$\sqrt{B{M}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{3+4}=\sqrt{7}$，
${C}_{1}M=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
∴cos∠MC₁B₁=$\frac{{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}+M{{C}_{1}}^{2}-B{M}^{2}}{2{B}_{1}{C}_{1}•M{C}_{1}}$=$\frac{4+5-7}{2×2×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
∴直線l與BC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．