Question

11．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC，D，D₁分別是線段BC，B₁C₁的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)．
（1）在平面ABC內(nèi)，試作出過點(diǎn)P與平面A₁BC平行的直線l，并說明理由；
（2）證明：直線l⊥平面ADD₁A₁．

Answer 1

分析 （1）在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)P作直線l和BC平行．利用線面平行的判定定理即可證明．
（2）在△ABC中，由AB=AC，D是線段AC的中點(diǎn)，可得AD⊥BC，l⊥AD．又AA₁⊥底面ABC，可得AA₁⊥l．即可證明．

解答 （1）解：在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)P作直線l和BC平行．
理由如下：由于直線l不在平面A₁BC內(nèi)，l∥BC，BC?平面A₁BC，
故直線l與平面A₁BC平行．
（2）證明：在△ABC中，∵AB=AC，D是線段AC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，又l∥BC，∴l(xiāng)⊥AD．
又∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥l．
而AA₁∩AD=A，
∴直線l⊥平面ADD₁A₁．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行與垂直的判定定理及其性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．