Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ (a∈R)．

(Ⅰ)若a＝1，求曲線f(x)在點(e，f(e))處的切線方程；

(Ⅱ)求f(x)的極值；

(Ⅲ)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)＝1的圖象在區(qū)間(0，e2]上有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) x＋e2y－3e＝0 (2) a≥1.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出該點的導(dǎo)數(shù)值，即得曲線在此點處的切線的斜率，然后用點斜式寫出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0解出增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解出函數(shù)的減區(qū)間，然后由極值判斷規(guī)則確定出極值即可；

（Ⅲ）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點，即在區(qū)間上，函數(shù)存在自變量取某個值時，函數(shù)值等于1，故問題可以轉(zhuǎn)化為求出函數(shù)最值，保證函數(shù)的最大值大于等于1，最小值小于等于1，即可得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解之即得．

試題解析：(Ⅰ) a＝1， 且

又∵

∴

∴f(x)在點(e，f(e))處的切線方程為： ，即x＋e2y－3e＝0.

(Ⅱ)f(x)的定義域為(0，＋∞)，

令f′(x)＝0得x＝e1－a.

當(dāng)x∈(0，e1－a)時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；

當(dāng)x∈(e1－a，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)；

f(x)在x＝e1－a處取得極大值，

即f(x)極大值＝f(e1－a)＝ea－1

(Ⅲ)(i)當(dāng)e1－a<e2，即a>－1時，

由(Ⅱ)知f(x)在(0，e1－a)上是增函數(shù)，

在(e1－a，e2]上是減函數(shù)，

當(dāng)x＝e1－a時，f(x)取得最大值，

即f(x)max＝ea－1.

又當(dāng)x＝e－a時，f(x)＝0，

當(dāng)x∈(0，e－a]時，f(x)<0，

當(dāng)x∈(e－a，e2]時，f(x)∈(0，ea－1]，

所以，f(x)的圖象與g(x)＝1的圖象在(0，e2]上有公共點，

等價于ea－1≥1，解得a≥1，

又因為a>－1，所以a≥1.

(ii)當(dāng)e1－a≥e2，即a≤－1時，f(x)在(0，e2]上是增函數(shù)，

f(x)在(0，e2]上的最大值為f(e2)＝，

原問題等價于≥1，解得a≥e2－2，

又a≤－1　 無解

綜上，a的取值范圍是a≥1.