Question

6．已知命題p：關(guān)于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m對任意x∈[-2，2]恒成立；命題q：函數(shù)y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$的圖象與函數(shù)y=mx-2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)；若p∨q為真，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-20]∪（0，4）．

Answer 1

分析 命題p：關(guān)于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m對任意x∈[-2，2]恒成立，?m≤（x³-3x²-9x+2）_min，x∈[-2，2]．令f（x）=x³-3x²-9x+2，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．
命題q：函數(shù)y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1或x≤-1}\\{-x-1，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，根據(jù)上述函數(shù)的圖象與函數(shù)y=mx-2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象即可得出m的取值范圍．根據(jù)p∨q為真，可得p與q必然一真一假．即可得出m的取值范圍．

解答 解：命題p：關(guān)于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m對任意x∈[-2，2]恒成立，
?m≤（x³-3x²-9x+2）_min，x∈[-2，2]．
令f（x）=x³-3x²-9x+2，則f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）．
可得：x∈[-2，-1）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
x∈（-1，2]時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
又f（-2）=0，f（2）=-20，可得x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，∴m≤-20．
命題q：函數(shù)y=$\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1或x≤-1}\\{-x-1，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
根據(jù)上述函數(shù)的圖象
與函數(shù)y=mx-2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則0＜m＜4．
若p∨q為真，則p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤-20}\\{m≤0或m≥4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m＞-20}\\{0＜m＜4}\end{array}\right.$，
解得m≤-20，或0＜m＜4．
實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤-20，或0＜m＜4．
故答案為：（-∞，-20]∪（0，4）．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、簡易邏輯的判定方法、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．