Question

7．已知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[0，4]的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x²-4，由f′（x）=x²-4≥0，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由f′（x）=x²-4=0，得x₁=-2，x₂=2，分別求出f（0），f（2），f（4），由此能求出函數(shù)f（x）在x∈[0，4]的最小值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$，
∴f′（x）=x²-4，
由f′（x）=x²-4≥0，得x≥2或x≤-2，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2]，[2，+∞）．
（2）由f′（x）=x²-4=0，得x₁=-2，x₂=2，
∵f（0）=4，f（2）=$\frac{1}{3}×8-4×2+4$=-$\frac{4}{3}$，
f（4）=$\frac{1}{3}×64-4×4+4$=$\frac{28}{3}$．
∴函數(shù)f（x）在x∈[0，4]的最小值為f（2）=-$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的增區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．