Question

14．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的四個(gè)側(cè)面的面積中最大的是（　�。�

• A． 3
• B． $2\sqrt{5}$
• C． 6
• D． $3\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由三視圖得幾何體是四棱錐并畫出直觀圖，由三視圖判斷出線面的位置關(guān)系，并求出幾何體的高和側(cè)面的高，分別求出各個(gè)側(cè)面的面積，即可得到答案．

解答 解：由三視圖得幾何體是四棱錐P-ABCD，如圖所示：
且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，
面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，
則△PDC的高為$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
所以△PDC的面積為：$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
因?yàn)镻E⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，
又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，
即BC⊥PC，同理可證AD⊥PD，
則兩個(gè)側(cè)面△PAD、△PBC的面積都為：$\frac{1}{2}$×2×3=3，
側(cè)面△PAB的面積為：$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}}$=6，
所以四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大是：6，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由三視圖求幾何體側(cè)面的面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體、判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．