Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x）=x2|x﹣a|（a∈R）．21世紀教育網
（1）判定f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當a≠0時，是否存在一點M（t，0），使f（x）的圖象關于點M對稱，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： a=0時，f（x）為偶函數；a≠0時，f（x）為非奇非偶函數．

（2）解：不存在．

假設存在一點M0（t0，0）使f（x）的圖象關于點M對稱，

則對x∈R應恒有f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）．

當t0=a時，取x=a，

則f（2a）=﹣f（0）=0，∴4a2|a|=0，∴a=0這與a≠0矛盾．當t0≠a時，

取x=a﹣t0，

則f（a）=﹣f（2t0﹣a）=0．∴（2t0﹣a）2|2t0﹣2a|=0，∵2t0﹣2a≠0，∴ ．而 時，取x=0，

則 即 ．∴ 這也與已知矛盾．

綜上，不存在這樣的點M．

【解析】分析：（1）根據f（x）=x2|x﹣a|（a∈R），可對a分類討論，根據函數奇偶性的定義即可判斷；（2）可假設存在一點M（t0 ， 0）使f（x）的圖象關于點M對稱，故f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）；分當t0=a時，取x=a，有f（2a）=﹣f（0）=0，從而可得a=0，導出矛盾；
當t0≠a時，取x=a﹣t0 ， f（a）=﹣f（2t0﹣a）=0，可解得 ，再取x=0，從而可得a=0，導出矛盾；于是可得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的奇偶性的相關知識，掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．