Question

如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實數(shù)m對應數(shù)上的點m，如圖1；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A，B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），如圖3．圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．

下列說法中正確命題的序號是

 

．（填出所有正確命題的序號）
①方程f（x）=0的解是x=

1

2

；       
②f(

1

4

)=1；      
③f（x）是奇函數(shù)；                      
④f（x）在定義域上單調遞增；       
⑤f（x）的圖象關于點(

1

2

，0)對稱．

Answer 1

考點：映射

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：對于①，當f（x）=0，即N（0，0），點M為圓與y軸的交點，
對于②，求出圓的半徑r=

1

2π

，求出M(-

1

2π

，1-

1

2π

)，求出對應直線AM的方程，求出N的坐標
對于③，∵m∈（0，1），∴函數(shù)f（x）的定義域為（0，1），定義域不關于原點對稱，∴非奇非偶函數(shù)，
對于④，m由0增大到1，M由A運動到B，此時N由x軸的負半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標逐漸變大，故f（x）在定義域上單調遞增，
對于⑤，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于原點對稱，即此時函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關于點(

1

2

，0)對稱．

解答： 解：對于①，當f（x）=0，即n=0，∴N（0，0），
∴點M為圓與y軸的交點，
∴m=

1

2

，
∴①正確；
對于②，∵AB=1，∴圓的周長=1，∴2πr=1∴r=

1

2π

∴圓心（0，1-

1

2π

），當m=

1

4

時，此時M在左圓心的中點上，此時M(-

1

2π

，1-

1

2π

)，
對應直線AM的方程為y=x+1，當y=0時，解得x=-1，即N（-1，0），所以n=-1，即f（

1

4

）=-1，
∴②錯誤；
對于③，∵m∈（0，1），∴函數(shù)f（x）的定義域為（0，1），定義域不關于原點對稱，∴非奇非偶函數(shù)，
∴錯誤；
對于④，m由0增大到1，M由A運動到B，此時N由x軸的負半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標逐漸變大，故f（x）在定義域上單調遞增，
∴正確；
對于⑤，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于原點對稱，即此時函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關于點(

1

2

，0)對稱．
故答案為：①④⑤

點評：本題是一定新定義題，正確閱讀理解題意是解決該題的關鍵，屬于一道好題．