11.已知函數(shù)f(x)=cos2x+$\sqrt{3}$sinxcosx(x∈R)
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)取得最大值時(shí),求自變量x的集合.

分析 (1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,利用周期公式即可計(jì)算得解.
(2)由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)f(x)的最大值,由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,解得f(x)取得最大值$\frac{3}{2}$時(shí)自變量x的集合.

解答 解:(1)∵f(x)=cos2x+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin(2x+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π.
(2)由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$的最大值為$\frac{3}{2}$.
由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,解得:x=kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z,
可得當(dāng)函數(shù)f(x)取得最大值$\frac{3}{2}$時(shí)自變量x的集合為:{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z}.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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