已知O為坐標原點，
OA
=(2cos2x，1)，
OB
=(1，
3
sin2x+a)x∈R，a是常數(shù)），若y=
OA
•
OB
．
求：
（1）y關于x的函數(shù)表達式f（x）；
（2）若x∈[0，
π
2
)時．f（x）有最大值2，求a的值．
分析：（1）通過向量的數(shù)量積，把
OA
和
OB
的坐標，代入函數(shù)解析式，利用向量積的運算求得函數(shù)解析式．
（2）通過x∈[0，
π
2
)，求出2x+
π
6
的范圍，然后求出函數(shù)的最大值，利用最大值為2，直接求得a．
解答：解：（1）∵
OA
=(2cos2x，1)，
OB
=(1，
3
sin2x+a)
∴y=
OA
•
OB
=2cos2x+
3
sin2x+a
=1+cos2x+
3
sin2x+a
=cos2x+
3
sin2x+a+1
=2(
1
2
cos2x+
3
2
sin2x)+a+1
=2(sin
π
6
cos2x+cos
π
6
sin2x)+a+1
=2sin(2x+
π
6
)+a+1
（2）因為x∈[0，
π
2
)，所以2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
），
當2x+
π
6
=
π
2
時，sin(2x+
π
6
)=1，ymax=2+a+1=3+a
又∵ymax=2
∴3+a=2
∴a=-1
點評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，二倍角的化簡求值，平面向量的數(shù)量積的運算．考查了對三角函數(shù)基礎知識的綜合應用．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，
OA
=(-4，0)，
AB
=(8，0)，動點P滿足|
PA
|+|
PB
|=10
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）求
PA
•
PB
的最小值；
（3）若Q（1，0），試問動點P的軌跡上是否存在M、N兩點，滿足
NQ
=
4
3
QM
？若存在求出M、N的坐標，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點，A是拋物線上一點，若
OA
•
AF
=-4，則點A的坐標是
（1，2）或（1，-2）
（1，2）或（1，-2）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點F，以OF為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點O的兩點A、B，若（
AO
+
AF
）•
OF
=0，則雙曲線的離心率e為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•沈陽二模）已知O為坐標原點，點M的坐標為（a，1）（a＞0），點N（x，y）的坐標x、y滿足不等式組
x+2y-3≤0
x+3y-3≥0
y≤1
．若當且僅當
x=3
y=0
時，
OM
•
ON
取得最大值，則a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，對于函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，稱向量
OM
=(a，b)為函數(shù)f（x）的伴隨向量，同時稱函數(shù)f（x）為向量
OM
的伴隨函數(shù)．記
ON
=(1，
3
)的伴隨函數(shù)為h（x），則使得關于x的方程h（x）-t=0在[0，
π
2
]內(nèi)恒有兩個不相等實數(shù)解的實數(shù)t的取值范圍是
[
3
，2)
[
3
，2)
．

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