Question

17．設(shè)a∈R，若對任意的x＞0時(shí)均有[（a-1）x-1]•（x²-ax-1）≥0，則a=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 a=1時(shí)，不等式不可能恒成立；a≠1，若對任意的x＞0時(shí)均有[（a-1）x-1]•（x²-ax-1）≥0，則函數(shù)y₁=（a-1）x-1，y₂=x²-ax-1，與x軸交于同一點(diǎn)，代入可得答案．

解答 解：（1）a=1時(shí)，代入題中不等式明顯不恒成立．
（2）a≠1，構(gòu)造函數(shù)y₁=（a-1）x-1，y₂=x²-ax-1，它們都過定點(diǎn)P（0，-1）．

考查函數(shù)y₁=（a-1）x-1：
令y=0，得M（$\frac{1}{a-1}$，0），
∴a＞1；
考查函數(shù)y₂=x²-ax-1，
∵x＞0時(shí)均有[（a-1）x-1]（x²-ax-1）≥0，
∴y₂=x²-ax-1過點(diǎn)M（$\frac{1}{a-1}$，0），代入得：（$\frac{1}{a-1}$）²-a•$\frac{1}{a-1}$-1=0，
解之得：a=$\frac{3}{2}$，或a=0（舍去）．
故答案為：$\frac{3}{2}$

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．