Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，BQ⊥AD，線段PC上是否存在點(diǎn)M，使得PA∥平面MQB？

Answer 1

分析 連接AC交BQ于N，連接MN，由相似三角形可得$\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$，故當(dāng)$\frac{PM}{PC}=\frac{1}{3}$時，PA∥MN，于是PA∥平面MQB．

解答 解：當(dāng)M為PC的靠近P的三等分點(diǎn)時，PA∥平面MQB．
證明如下：連接AC交BQ于N，連接MN．
∵∠BAD=60°，BQ⊥AD，
∴AQ=ABcos60°=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}AD$，
∴Q為AD的中點(diǎn)．
∵AQ∥BC，
∴△AQN∽△CBN，
∴$\frac{AN}{CN}=\frac{AQ}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$．又$\frac{PM}{PC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AN}{AC}=\frac{PM}{PC}$，∴MN∥PA，
又MN?平面MQB，PA?平面MQB，
∴PA∥平面MQB．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，計(jì)算$\frac{AN}{AC}$是確定M點(diǎn)位置的關(guān)鍵，屬于中檔題，