Question

19．已知球O的一個內(nèi)接三棱錐P-ABC，其中△ABC是邊長為2的正三角形，PC為球O的直徑，且PC=4，則此三棱錐的體積為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 過O作平面ABC的垂線OM，則M為△ABC的中心，利用勾股定理計算出OM，則P到平面ABC的距離為2OM，再代入棱錐的體積公式計算．

解答 解：過球心O作OM⊥平面ABC，垂足為M，連接OM．
∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴M為△ABC的中心，
∴CM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∵O是PC的中點，∴P到平面ABC的距離d=2OM=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系，棱錐的體積計算，屬于中檔題．