Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

3

2

，其左右焦點分別為F₁、F₂，|F₁F₂|=2

3

．設點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）是橢圓上不同兩點，且這兩點與坐標原點的直線的斜率之積為-

1

4

．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：x₁²+x₂²為定值，并求該定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由離心率為e=

3

2

=

c

a

，其左右焦點分別為F₁、F₂，|F₁F₂|=2

3

=2c．可得c，a，再利用b²=a²-c²即可得出．
（2）由于k_OM•k_ON=-

1

4

，可得

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

4

，化為x₁x₂+4y₁y₂=0．當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為y=kx+m．與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系．化簡代入x₁²+x₂²=(x1+x2)2-2x1x2即可得出．當直線MN的斜率不存在時，直接驗證即可．

解答： 解：（1）∵離心率為e=

3

2

=

c

a

，其左右焦點分別為F₁、F₂，|F₁F₂|=2

3

=2c．
∴c=

3

，a=2，b²=a²-c²=1．
∴橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）證明：∵k_OM•k_ON=-

1

4

，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

4

，化為x₁x₂+4y₁y₂=0．
當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為y=kx+m．
聯立

y=kx+m x2+4y2=4

，
化為（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
△＞0．
∴x1+x2=

-8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2．
∴（1+4k²）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0．．
∴4m2-4-

32k2m2

1+4k2

+4m²=0，
化為2m²=4k²+1．
∴x₁²+x₂²=(x1+x2)2-2x1x2
=

64k2m2

(1+4k2)2

-

2(4m2-4)

1+4k2

=4為定值．
當直線MN的斜率不存在時，也適合．
綜上可得：x₁²+x₂²=4為定值．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．