Question

9．△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且$bsinA=\sqrt{3}acosB$．b=3，sinC=2sinA，則a+c=3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanB=$\sqrt{3}$，結(jié)合B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得9=a²+c²-ac，由正弦定理可得：c=2a，進(jìn)而解得a，c的值，從而得解．

解答 解：∵$bsinA=\sqrt{3}acosB$，可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}cosB}$，
∴由$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，可得：sinB=$\sqrt{3}$cosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，結(jié)合B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$，
又∵b=3，
∴由余弦定理可得：9=a²+c²-ac，…①
∵sinC=2sinA，
∴由正弦定理可得：c=2a，…②
∴聯(lián)立①②可得：a=$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{3}$，a+c=3$\sqrt{3}$．
故答案為：$3\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．