Question

17．設(shè)F為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）與C交于點A，直線FA恰與曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相切于點A，F(xiàn)A交C的準(zhǔn)線于點B，則$\frac{|FA|}{|BA|}$等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 求出切線方程，利用曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）與C交于點A，用p表示m，n，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（m，n），則由y=$\frac{k}{x}$可得y′=-$\frac{k}{{x}^{2}}$，
∴過F的切線方程為y=-$\frac{k}{{m}^{2}}$（x-$\frac{p}{2}$），
代入A，可得n=-$\frac{k}{{m}^{2}}$（m-$\frac{p}{2}$），
∵n²=2pm，k=mn，
∴m=$\frac{p}{4}$，n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$p，
∴-$\frac{k}{{m}^{2}}$=-$\frac{n}{m}$=-2$\sqrt{2}$，
設(shè)切線的傾斜角為α，A在準(zhǔn)線上的射影為C，則tanα=-2$\sqrt{2}$，∴cosα=-$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{|FA|}{|BA|}$=$\frac{|AC|}{|AB|}$=-cosα=$\frac{1}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查切線方程，考查拋物線的方程與定義的運(yùn)用，屬于中檔題．