Question

13．已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x-1）
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 若函數(shù)g（x）=log₂（2^x+1），且關(guān)于x的方程g（x）=m+f（x）在區(qū)間[1，2]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=2^x-1，則y=log₂t，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)性即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m=g（x）-f（x）在區(qū)間[1，2]上有解，令$h（x）=g（x）-f（x）={log_2}（{\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}}）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）={log_2}（{2^x}-1）$的定義域?yàn)椋?，+∞），
令t=2^x-1，y=log₂t，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)t=2^x-1單調(diào)遞增，
當(dāng)t∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)y=log₂t單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
（Ⅱ）方程g（x）=m+f（x）在區(qū)間[1，2]上有解，
即m=g（x）-f（x）在區(qū)間[1，2]上有解，
令$h（x）=g（x）-f（x）={log_2}（{\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}}）$，令$t=\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}=1+\frac{2}{{{2^x}-1}}$，
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，$t∈[{\frac{5}{3}，3}]$，
所以$h（x）∈[{{{log}_2}\frac{5}{3}，{{log}_2}3}]$，
所以$m∈[{{{log}_2}\frac{5}{3}，{{log}_2}3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及換元思想，是一道中檔題．